Questão Resolvida do ENEM de 23 de Outubro de 2011

Número da Questão segundo a Cor do Caderno:

 174  »  176  »  174  »  178 

O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares.

Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é

  • A) 24.
  • B) 31.
  • C) 32.
  • D) 88.
  • E) 89.

 

Temos aqui um problema de análise combinatória. Nosso objetivo é calcular o número de permutações dos 5 algarismos ímpares antes do número 75913 o que nos possilitará encontrar o seu número de ordem.

120, o número de candidatos, é justamente o total de permutações dos algarismos 1, 3, 5, 7 e 9.

Recorrendo ao princípio fundamental da contagem podemos identificar a quantidade de números que começam com 1, 3, ou 5.

Como temos números com 5 algarismos ímpares e distintos e como o primeiro algarismo pode ser tanto 1, quanto 3, ou 5, para o primeiro algarismo temos estas 3 possibilidades e para os próximos o número de possibilidades decresce de 4 (o número restante de algarismos) até 1:

Então do número 13579, o primeiro na sequência, ao número 59731, que é o último que começa com 5, temos 72 números distintos.

Agora precisamos identificar quantos são os números de 71359 a 73951, isto é, o total de números que começam com 71 ou 73.

Para o primeiro algarismo temos uma possibilidade (o 7), para o segundo algarismo temos duas (1 ou 3) e para os demais decrescem de 3 a 1:

Continuando a sequência, calculemos agora o número de permutações do número 75139 ao número 75391.

Para o primeiro algarismo temos uma possibilidade (o 7), para o segundo algarismo temos uma opção (o 5), para o terceiro algarismo temos duas (1 ou 3), para o quarto temos 2 e para quinto apenas 1:

Portanto do número 13579 ao número 75391 temos 88 números distintos:

O próximo número na sequência será 75913, aquele que estamos interessados em saber o seu número de ordem.

Logo a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75913 é 89:

RespostaE é a alternativa correta.

 

 » Acesse outras questões do ENEM de outubro de 2011 selecionado-as pela cor do cardeno:


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147148149150151152153154155156157
158159160161162163164165166167168
169170171172173175176177178179180

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158159160161162163164165166167168
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 » Esta e as demais questões do ENEM de outubro de 2011 foram reproduzidas do Portal do INEP.
 » As resoluções são uma contribuição do Matemática Didática.