Potenciação de Números Complexos na Forma Algébrica

Já vimos que o cálculo de potências de números reais com expoente natural é realizado através de uma multiplicação em que todos os fatores são iguais à base e em quantidade igual ao expoente natural.

Veja que a potência abaixo é o resultado de uma multiplicação com 3 fatores iguais a 5:

Esta outra potência é resultado de uma multiplicação contendo 4 fatores iguais a 7:

No caso de potências de números complexos com expoente natural o procedimento é o mesmo:

Se já é trabalhoso realizar diversas multiplicações no caso dos números reais, imagine realizar as multiplicações acima, que contém quatro números complexos. A multiplicação de números complexos é realizada tal qual a multiplicação de polinômios.

Quando a parte imaginária de um número complexo é nula, temos um número número real e o cálculo da potência é realizado como vimos no primeiro exemplo deste artigo:

Quando temos um número imaginário puro, isto é, quando a parte real de um número complexo é nula, o cálculo da potência pode ser realizado como no seguinte exemplo:

Note que na expressão acima temos que i5 é igual a i1, pois o resto da divisão de 5 por 4 é igual a 1. Se você não sabe o porquê de tal igualdade, por favor, acesse o artigo potências da unidade imaginária.


Potências de Números Imaginários

Números complexos cujas partes real e imaginária não são nulas, são números imaginários.

De forma alternativa podemos calcular potências de números imaginários com expoente natural, recorrendo ao Binômio de Newton.

Como já estudamos no referido artigo, segundo o método de Isaac Newton o desenvolvimento de (a + b)n com e é dado por:


Exemplo de Potência de Número Imaginário

Vejamos como realizar o cálculo da potência (-3 - 5i)4 segundo o método do Binômio de Newton:

Substituindo a, b e n por -3, -5 e 4, respectivamente, na sentença do desenvolvimento de (a + b)n, segundo o método de Isaac Newton, temos:

Observe que todos os números binomiais possuem numerador igual a 4 e os denominadores vão de 0 a 4, do número binomial ao número binomial .

Assim como nas frações, o número superior de um número binomial é chamado numerador e o inferior é o denominador.

Note ainda que o expoente dos fatores -3, a parte real do número complexo, começa em 4, o expoente da potência, e decresce até 0.

Já o expoente dos fatores -5i, a parte imaginária do número complexo, ao contrário, começa em 0 e cresce até 4.

Os números binomiais podem ser calculados segundo a fórmula da combinação simples:

No entanto para agilizarmos o desenvolvimento deste exemplo, podemos aplicar algumas propriedades que vimos no estudo dos números binomiais.

Como , e , temos que:

Precisamos ainda calcular e .

é obtido através da fórmula da combinação simples:

No caso do número binomial , vamos recorrer a uma outra propriedade.

No estudo dos números binomiais aprendemos que , então podemos concluir que:

Substituindo cada número binomial por seu respectivo valor e desenvolvendo a expressão, temos:

Para a conclusão dos cálculos, a partir deste ponto vamos utilizar os conhecimentos adquiridos sobre as potências da unidade imaginária:

Finalmente chegamos ao resultado desejado. Como podemos observar, é um processo simples, mas trabalhoso.

Em vez de calcularmos os números binomiais como fizemos neste artigo, podemos utilizar a técnica explicada no estudo do Binômio de Newton, que facilita muito os cálculos, principalmente no caso de expoentes maiores.

Também é interessante que você acesse o nosso artigo sobre o Triângulo de Pascal, pois os números nas linhas deste triângulo, são justamente os números binomiais utilizados pelo Binômio de Newton.