Conjunto dos Números Complexos
Números Imaginários
No conjunto dos números reais (
) a
é igual a 5, mas qual é a
?
Como sabemos, não existe a raiz quadrada real de um radicando negativo com índice par. No conjunto dos números reais o máximo que podemos fazer é simplificar o radical desta forma:

Ainda assim o fator
não é um número real, pois o radicando -1 é um número negativo.
Para maiores informações sobre como retiramos o número 5 do radical, você pode consultar o nosso artigo sobre a radiciação e suas propriedades.
Unidade Imaginária
A solução para este tipo problema surgiu com a criação dos números imaginários, cuja unidade imaginária representada pela letra i, é igual a
.
Utilizando-se do conceito de número imaginário podemos dizer que a
é igual a 5i, pois:

Agora vamos solucionar a equação do segundo grau abaixo:

O primeiro passo é calcularmos o seu discriminante:


Como o discriminante é negativo, a equação não possui raízes reais:


Mas possui raízes imaginárias ao substituirmos
por i:

Nos dois exemplos acima,
e
, temos um radicando que é o valor simétrico de um quadrado perfeito, ou seja, o oposto de 25 e de 16, que são quadrados perfeitos, mas mesmo que não o fossem, ainda assim poderíamos trabalhar com o conceito de números imaginários.
Vejamos o exemplo do número
:

Observe que não eliminamos o radical, pois o número 13 não é um quadrado perfeito, mas agora temos um radicando positivo.
Quadrado perfeito é qualquer número inteiro maior ou igual a zero, que podemos representar pelo quadrado de um número também inteiro, por exemplo, 144 é um quadrado perfeito, pois: 144 = 122
Há casos em que alguns fatores do número saem do radical e outros fatores não. Veja o exemplo do número
:

Números Complexos
Ao estudarmos os conjuntos numéricos fundamentais vimos que os números racionais podem ser expressos na forma de uma fração, com numerador e denominador inteiros e com denominador diferente de zero:

De forma semelhante os números complexos podem ser representados por meio de uma expressão algébrica:

Sendo a e b números reais e i a unidade imaginária.
a é a parte real do número complexo z e bi é a sua parte imaginária.
Definimos o conjunto dos números complexos como:

O conjunto dos números reais (
) e o conjunto dos números imaginários (
) são subconjuntos do conjunto dos números complexos (
). Em função disto um número complexo pode ser imaginário, imaginário puro ou real.
Exemplos de Números Imaginários
Para a ≠ 0 e b ≠ 0 temos um número imaginário:






Como podemos observar um número imaginário possui uma parte real e outra imaginária.
Exemplos de Números Imaginários Puros
Para a = 0 e b ≠ 0 temos um número imaginário puro:






Números imaginários puros possuem apenas a parte imaginária.
Exemplos de Números Reais
Para a ≠ 0 e b = 0 temos um número real:






Números reais não possuem a parte imaginária.
Conjugado de um Número Complexo
O conjugado de um número complexo
é o número complexo
.
Observe que tanto z, quanto o seu conjugado possuem a mesma parte real, mas as partes imaginárias são opostas. Quando ambas as partes, real e imaginária, são iguais, os números também o são. A igualdade só ocorre nestas condições.
As raízes imaginárias x1 e x2 da equação x2 + 2x + 5 = 0, solucionada mais acima, são conjugadas uma da outra:


Exemplos de Números Complexos e seu Conjugado






Conjuntos Numéricos em Diagrama
No diagrama abaixo observamos que o conjunto dos números reais (
) é um subconjunto do conjunto dos números complexos (
).

Através deste diagrama podemos concluir que todo número real é complexo, mas nem todo número complexo é real, pois um número complexo pode possuir uma parte imaginária, mas os números reais não a possuem.
