Operações com Números Complexos
No estudo dos números reais vimos como realizar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Agora vamos tratar cada uma destas operações trabalhando com os números complexos na forma algébrica.
Adição de Números Complexos
No artigo sobre polinômios vimos como realizar a redução de termos semelhantes.
Tratando os números complexos como binômios, podemos realizar a sua soma reduzindo os termos semelhantes como no exemplo abaixo:
Como você pode perceber, isto é equivalente a somarmos separadamente as suas partes reais e imaginárias.
Exemplos da Adição de Números Complexos
Subtração de Números Complexos
A subtração é realizada tal qual a adição, através da redução dos termos semelhantes, ou ainda subtraindo separadamente as partes reais e as partes imaginárias.
Exemplos da Subtração de Números Complexos
Multiplicação de Números Complexos
Realizamos a multiplicação de números complexos tratando-os como binômios e os multiplicando como tal, ou seja, multiplicando cada termo do primeiro binômio por cada termo do segundo:
Note que o último termo é 10i2 e visto que , logo i2 = -1, o que nos permite continuar os cálculos substituindo i2 por -1:
Portanto:
Exemplos da Multiplicação de Números Complexos
Divisão de Números Complexos
A divisão de números complexos é realizada multiplicando o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor.
Observe no último exemplo de multiplicação acima que ao multiplicarmos o número imaginário 5 + 8i pelo seu conjugado 5 - 8i obtivemos como resultado o número real 89.
A multiplicação de um número imaginário pelo seu conjugado sempre resulta em um número real e isto pode ser utilizado para realizar a divisão de números complexos.
Agora vejamos este exemplo de divisão:
Para começar vamos multiplicar o divisor e o dividendo pelo conjugado do divisor como explicado acima:
Para realizar o produto no denominador vamos recorrer aos produtos notáveis, mais especificamente ao produto da soma pela diferença de dois termos, onde temos que:
Continuando o processo da divisão temos:
Note que inicialmente tínhamos o divisor imaginário 2 - 7i e no final temos o divisor real 53. É por isto que utilizamos o conjugado como expediente para realizar a divisão, assim conseguimos transformar um divisor imaginário em um divisor real, o que facilita muito as coisas, como pudemos ver na passagem do penúltimo para o último passo.
Exemplos da Divisão de Números Complexos