Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes?

A cada lançamento a probabilidade de cair o número 4 é de 1 possibilidade em 6, ou seja, ¹/₆ é a probabilidade de obtermos o número 4 em cada lançamento.

Quando lançamos o dado e obtemos um 4, temos um sucesso no lançamento, pois este é o resultado que pretendemos obter, no entanto quando obtemos um outro resultado qualquer, estamos diante de um fracasso. Note que só há duas possibilidades: Sucesso quando dá o número 4, ou fracasso quando dá qualquer outro.

Observe que cada lançamento não interfere na probabilidade de qualquer outro lançamento, eles são independentes.

Note também que a probabilidade de sucesso ou fracasso é sempre a mesma em cada lançamento.

Nestas condições a probabilidade de obtermos k sucessos e n - k fracassos em n tentativas, é obtida pelo termo geral do Binômio de Newton:

Lê-se como número binomial de numerador n e denominador k, ou então como número binomial n sobre k.

Na equação acima P representa a probabilidade procurada. n o total de tentativas, k o número de tentativas que resultam em sucesso, p a probabilidade de obtermos um sucesso e q representa a probabilidade de obtermos um fracasso.

Note que n - k representa o número de tentativas que resultam em fracasso, assim como q é igual a 1 - p, ou seja, sendo p a probabilidade de sucesso, q é a probabilidade de fracasso que a complementa, pois só podemos obter um sucesso ou um fracasso, não há uma outra possibilidade.

Sendo n ≥ k, o número binomial é dado por:

Para vermos a utilização da fórmula, vamos resolver o problema do início deste tópico.

Exemplo

Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes?

O espaço amostral do lançamento de um dado é:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Como estamos interessados apenas nos resultados iguais a 3, representamos tal evento por:

E = { 3 }

Em relação ao número de elementos temos que n(E) = 1 e n(S) = 6, portanto a probabilidade da ocorrência de um 3 em um lançamento é:

p é a probabilidade de sucesso em um lançamento, a probabilidade de fracasso é dada por q = 1 - p, portanto q = ⁵/₆.

n é o número total lançamentos, então n = 7.

k é o número de sucessos, logo k = 4.

Antes de utilizarmos a fórmula , vamos calcular o número binomial :

Agora sim temos todos os dados para podermos aplicar na fórmula. Vejamos:

A probabilidade ⁴³⁷⁵/₂₇₉₉₃₆ também pode ser representada na sua forma decimal, bastando realizarmos a divisão de 4375 por 279936, que resulta em aproximadamente 0,0156 e também na forma de porcentagem, bastando multiplicarmos 0,0156 por 100% que dá 1,56%.

Portanto:

A probabilidade é ⁴³⁷⁵/₂₇₉₉₃₆, ou aproximadamente 0,0156, ou ainda 1,56%.