Resolução Passo a Passo de Questões de Concursos Públicos - X
1) Para a realização de um trabalho, um professor necessitava dividir uma turma de 12 alunos em 4 grupos, todos com o mesmo número de alunos. Para isso, ele selecionou 4 alunos que deveriam escolher seus outros parceiros de grupo. Tendo sido escolhidos os 4 alunos, de quantas maneiras diferentes essa divisão pode ser completada?
Este é um problema com foco na análise combinatória, para solucioná-lo iremos utilizar várias vezes a fórmula para o cálculo de combinações simples.
A sua resolução é bastante simples, desde que consigamos compreender bem as informações contidas no enunciado.
Em primeiro lugar devemos perceber que como 4 alunos foram escolhidos previamente pelo professor, restam somente 8 alunos, da turma com 12 alunos, a serem selecionados:
Agora vamos analisar cada um dos 4 alunos selecionados. Cada um deles deve escolher mais 2 alunos, já que cada um dos 4 grupos deve possuir 3 integrantes:
O primeiro aluno que escolher terá 8 opções de escolha que devem ser combinadas duas a duas, pois ele deve escolher 2 alunos:
O segundo aluno que escolher terá 6 opções de escolha, pois 2 alunos já foram escolhidos pelo primeiro aluno:
O terceiro aluno previamente selecionado terá agora apenas 4 opções:
O quarto aluno pode-se dizer que ele não tem opção de escolha, pois os 2 alunos que sobraram irão obrigatoriamente fazer parte do seu grupo, ou seja, de fato ele só tem uma escolha que é confirmada abaixo:
O número de combinações possíveis do primeiro grupo é:
Isto é, 1 possibilidade para o aluno previamente selecionado, vezes o número de possibilidades que ele tem de escolha.
Analogamente para o segundo grupo temos:
Temos então para o terceiro grupo:
E para o quarto grupo:
Pronto o número total de combinações será o produto de todas as combinações acima:
Portanto:
Essa divisão pode ser completada de 2.520 maneiras diferentes.
2) Ao arremessar um dado não-viciado 5 vezes, ao acaso, com as faces numeradas de 1 a 6, determine aproximadamente a probabilidade percentual de sair em 2 arremessos o número 6.
Temos um problema onde há 5 arremessos independentes de um dado não-viciado com resultados aleatórios e com probabilidade de sucesso constante em cada arremesso. Como já vimos em outras questão resolvidas de concursos públicos, para resolvê-lo vamos recorrer à distribuição binomial.
A probabilidade de se obter k sucessos e n - k fracassos em n arremessos, é calculada pelo termo geral do Binômio de Newton:
Como queremos 2 sucessos em 5 arremessos de um dado, o valor das variáveis k e n será: k = 2 e n = 5.
Em cada arremesso a probabilidade de sucesso, representada por p, é igual a 1/6, pois das seis ocorrências possíveis referentes às 6 faces de um dado, apenas quando ocorrer a face número 6 teremos um evento de sucesso, isto é, temos uma possibilidade em seis o que nos dá uma probabilidade de sucesso igual a 1/6.
A distribuição binomial trata de casos onde temos apenas as possibilidades de sucesso ou de fracasso e como a probabilidade de sucesso é igual a 1/6, a probabilidade de fracasso, representada pela letra q, será 1 - 1/6, que é igual a 5/6.
é a combinação simples de n elementos distintos, agrupados k a k, com k ≤ n:
O cálculo do número binomial é realizado como a seguir:
Sabendo que podemos concluir os cálculos:
Na forma de porcentagem temos:
Então:
A probabilidade é aproximadamente de 16,1%.
3) Em uma loja no shopping na capital o plano de vendas de eletrodomésticos é dado por -100,00 + 5p , em que p representa o valor da prestação do produto comprado em cinco vezes. Sabendo disso, qual é o valor de cada prestação na venda de uma TV cujo preço é de R$ 450,00?
Este problema envolve a montagem e resolução de uma equação do primeiro grau.
Conforme o enunciado o valor de uma televisão comprada a prazo pode ser assim equacionado:
Onde v é o valor da televisão e p é o valor de cada prestação.
No entanto o enunciado nos diz que o valor da TV é de R$ 450,00, logo v = 450,00:
Resolvendo a equação temos:
Logo:
O valor de cada prestação é de R$ 110,00.
4) Foram necessárias 11 horas e 5 minutos divididas em três dias para que o norte-americano John Isner superasse o francês Nicolas Mahut no jogo mais longo da história do tênis, que terminou com o placar de 3 a 2, parciais de 4-6, 6-3, 7-6, 6-7 e 70-68. Se transformássemos esse tempo para segundos teríamos:
Na solução deste problema iremos utilizar alguns conhecimentos sobre unidades de medida de tempo.
Sabemos que 1 hora equivale a 3600 segundos e também que 1 minuto equivale a 60 segundos. Com base nestas informações podemos montar a seguinte expressão matemática:
Através dela estamos convertendo as 11 horas em segundos e também os 5 minutos em segundos, além disto estamos totalizando os números obtidos de segundos:
Portanto:
39.900 segundos.
5) No intervalo entre 1 e 30 peças produzidas por uma dada fábrica, o custo de produção, em reais, de um determinado produto é descrito pela seguinte função de segundo grau: y = x2 - 18x + 20. Sendo x o número de peças fabricadas e y o custo em reais de cada peça, qual é o número de peças que acarretaria o menor custo de produção é?
Na resolução desta questão precisamos saber como calcular o ponto de máximo/mínimo de uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola.
Mais especificamente estamos interessados em obter o valor da abscissa do vértice da função.
Uma forma de fazê-lo é calculando a média aritmética entre as raízes da função. Apenas para exemplificar, vamos calcular tais raízes.
Vamos começar pelo cálculo do discriminante:
Tendo identificado o discriminante podemos obter as raízes da função através da fórmula de Bhaskara:
Como o valor procurado é a média aritmética entre estas raízes, temos:
Logo 9 é o número procurado de peças.
Este método foi mostrado apenas a título de exemplo, pois ele só é viável quando já temos as raízes da função, quando não as temos é melhor utilizarmos o método a seguir.
As coordenadas do vértice de uma função quadrática é dado por:
se refere à abscissa do vértice e à ordenada do vértice.
Como estamos interessados apenas na abscissa, temos:
Então:
9 é o número de peças que acarretaria o menor custo de produção.
6) Numa loja de equipamentos de informática deseja-se dispor cinco modelos de computadores e cinco modelos de impressoras lado a lado em uma prateleira de forma que não fiquem juntos dois computadores e duas impressoras. De quantas maneiras será possível fazer essa disposição?
Esta questão trata de permutações simples, parte integrante da análise combinatória.
O fragmento "de forma que não fiquem juntos dois computadores e duas impressoras" nos indica que a disposição dos equipamentos deve ser algo como:
C1, I1, C2, I2, C3, I3, C4, I4, C5, I5.
Note que começamos a disposição com um computador seguido de uma impressora, alternando assim até o último equipamento.
Poderíamos também começar com uma impressora:
I1, C1, I2, C2, I3, C3, I4, C4, I5, C5.
Observe esta última disposição acima. É fácil percebermos que permutando os computares entre si, estaremos respeitando as condições do enunciado, o mesmo raciocínio vale para o caso das impressoras. Então neste caso o número de disposições seria P5, referente às impressoras, multiplicado por P5, referente aos computadores:
Não podemos nos esquecer das disposições que começam com um computador, então neste caso estamos dobrando o número de permutações:
Vamos então aos cálculos:
Logo:
Será possível fazer essa disposição de 28.800 maneiras.
7) Um número natural dividido por 17 é igual a 123 e o resto é o maior possível. Qual é esse número?
Para resolvermos este problema basta estarmos atentos ao fato de que o maior resto natural de uma divisão por 17 é igual a 16, isto é óbvio pois o resto deve ser menor que o divisor e o maior número natural menor que 17 é 16.
Como sabemos:
Dividendo = Divisor . Quociente + Resto
Em função disto, representado o Dividendo pela letra D, temos:
Portanto:
Esse número é 2107.
8) Num depósito existem trinta televisores dos quais cinco apresentam defeito de fabricação. Ao pegar ao acaso três desses televisores, qual é a probabilidade de que pelo menos um seja defeituoso?
Neste problema recorremos à combinação simples, conteúdo da análise combinatória, para encontrarmos a sua solução.
Como sabemos, a probabilidade da ocorrência de um evento é dada pela razão entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral. Sendo assim vamos primeiramente calcular o número de elementos do espaço amostral através da combinação simples.
Como temos 30 televisores e devemos pegar 3 deles ao acaso, o número de combinações possíveis, ou seja, o número de elementos do espaço amostral é calculado por C30, 3:
Então ao pegarmos aleatoriamente 3 televisores dentre os 30 encontrados no depósito, temos um total de 4060 possibilidades distintas, mas qual é a probabilidade de que pelo menos um seja defeituoso dentre os três?
Precisamos então saber quantos são os agrupamentos que contém 1, 2 ou 3 televisores defeituosos para podermos calcular tal probabilidade.
O número de agrupamentos que contém 1 televisor defeituoso é dado por C5, 1 . C25, 2, onde C5, 1 é o número de combinações dos 5 televisores defeituosos tomados 1 a 1 e C25, 2 é o número de combinações dos 25 televisores sem defeito tomados 2 a 2, totalizando assim 3 televisores em cada agrupamento.
De forma análoga o número de agrupamentos que contém 2 televisores defeituosos é dado por C5, 2 . C25, 1.
No caso de 3 televisores defeituosos é dado apenas por C5, 3, referente à quantidade de combinações dos 5 televisores defeituosos tomados 3 a 3, já que não temos televisores sem defeito nestes agrupamentos.
O número total de combinações contendo ao menos um televisor defeituoso é:
A probabilidade procurada é então dada por:
Para concluirmos a operação basta calcularmos as diversas combinações da expressão, da mesma forma que fizemos no caso de C30, 3 no começo da resolução da questão e realizarmos algumas simplificações, quando então iremos obter 88/203 que é a probabilidade procurada.
Tal problema foi assim solucionado, pois há situações em que esta é a melhor maneira de resolver uma questão deste tipo, mas aqui não é este o caso. Há uma forma mais simples de fazê-lo.
Quando estudamos probabilidades, tratamos de um tal evento complementar. Através do conceito lá descrito, podemos chegar à conclusão de que a probabilidade de não pegarmos nenhum televisor defeituoso é complementar à probabilidade de pegarmos pelo menos um televisor que seja defeituoso.
A probabilidade de dentre os 30 televisores pegarmos 3 deles sem qualquer defeito é dada por:
C30, 3 já sabemos que é igual a 4060, então vamos ao cálculo de C25, 3:
Logo:
Esta é a probabilidade de dentre os 30 televisores, pegarmos 3 deles sem qualquer defeito, mas nós queremos o complementar disto:
Então:
88/203 é a probabilidade de que pelo menos um televisor seja defeituoso.
9) Uma pesquisa deseja conhecer a ordem de preferência de estilo musical entre os jovens de uma determinada cidade. São apresentados 10 estilos e cada jovem entrevistado deve escolher 3 deles. Quantas respostas diferentes são possíveis nesta pesquisa?
A resolução desta questão envolve o conceito de arranjos simples, pois vários jovens têm a mesma preferência de estilo musical, independentemente da ordem de escolha feita por cada um deles, desde que os estilos escolhidos por eles sejam os mesmo, ou seja, a ordem das escolhas não causa distinção entre os agrupamentos, mas sim a escolha de estilos distintos.
Temos então que calcular o arranjo simples de 10 elementos distintos, agrupados 3 a 3.
Realizamos assim o cálculo do número de agrupamentos:
Logo:
Nesta pesquisa são possíveis 720 respostas diferentes.
10) O preço de um televisor, à vista, é R$ 1.290,00. A loja também vende por R$ 1.450,00 em duas parcelas, sendo que a primeira parcela, a entrada, é a quarta parte do valor da segunda parcela que deve ser feita após 60 dias da compra. Qual é a taxa mensal de juros simples na venda parcelada?
Aqui temos um problema de matemática financeira que pode facilmente ser resolvido sem recorrermos a fórmulas específicas.
No tópico cálculo de prestações vimos que em um financiamento o valor da entrada não sofre o acréscimo de juros, pois ele é pago no início da transação e por isto somente o valor restante, já descontada a entrada, sofrerá tal incidência.
Dizer que a entrada é a quarta parte do valor da segunda parcela é o mesmo que afirmar que os R$ 1.450,00 foram divididos em 5 partes, sendo que uma das partes se refere ao valor da entrada e as outras 4 partes se referem ao valor financiado, ou seja, se referem à segunda parcela.
Então R$ 290,00 dos R$ 1.290,00 do preço do televisor não são financiados, pois se referem à entrada, portanto R$ 1.000,00 sofrerão o acréscimo de juros, já que devem ser pagos 60 dias após a compra:
Após 60 dias de financiamento, o saldo devedor de R$ 1.000,00 passa a ser de R$ 1.160,00, o valor da segunda parcela, ou seja, há a incidência de juros de R$ 160,00:
Os juros de R$ 160,00 equivalem a 16% dos R$ 1.000,00 financiados:
Esta é a taxa de juros simples em dois meses. A taxa mensal será:
Portanto:
A taxa mensal de juros simples na venda parcelada é de 8%.